【高等数学】高数整理：常见等价无穷小、导数和微分、微分方程

一、常见等价无穷小

当 x→0x\rightarrow0x→0 时，

sin⁡x∼x\sin x \sim xsinx∼x

tan⁡x∼x\tan x\sim xtanx∼x

arcsin⁡x∼x\arcsin x \sim xarcsinx∼x

arctan⁡x∼x\arctan x \sim xarctanx∼x

ex−1∼xe^x-1 \sim xex−1∼x, ax−1∼xln⁡aa^x-1 \sim x \ln aax−1∼xlna

ln⁡(1+x)∼x\ln (1+x) \sim xln(1+x)∼x, loga(1+x)∼xln⁡a\displaystyle\ log_{a}(1+x) \sim \frac{x}{\ln a} loga​(1+x)∼lnax​

ln⁡(x+1+x2)∼x\displaystyle \ln(x+\sqrt{1+x^2}) \sim xln(x+1+x2​)∼x

(1+x)α−1∼αx\displaystyle (1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x(1+x)α−1∼αx

1−cos⁡x∼12x2\displaystyle \displaystyle 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^21−cosx∼21​x2

tan⁡x−x∼13x3\displaystyle \tan x-x \sim \frac{1}{3}x^3tanx−x∼31​x3

x−sin⁡x∼16x3\displaystyle x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^3x−sinx∼61​x3

tan⁡x−sin⁡x∼12x3\displaystyle \tan x - \sin x \sim \frac{1}{2}x^3tanx−sinx∼21​x3

arcsin⁡x−x∼16x3\displaystyle \arcsin x - x \sim \frac{1}{6}x^3arcsinx−x∼61​x3

x−arctan⁡x∼13x3\displaystyle x - \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3x−arctanx∼31​x3

当 x→∞x \rightarrow \infinx→∞ 时，

lim⁡x→∞(1+1x)x=e\large \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \infin}(1+ \frac{1}{x})^x=ex→∞lim​(1+x1​)x=e， 括号内的一项趋向 0 。

二、导数 / 微分

利用导数的定义：

lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}Δx→0lim​Δxf(x+Δx)−f(x)​

lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}x→x0​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​

常见函数的导数

函数导数sin⁡x\sin xsinxd(sin⁡x)dx=cos⁡x\displaystyle \cfrac{\text{d}(\sin x)}{\text{d}x}=\cos xdxd(sinx)​=cosxcos⁡x\cos xcosxd(cos⁡x)dx=−sin⁡x\dfrac{\text{d}(\cos x)}{\text{d}x}=-\sin xdxd(cosx)​=−sinxtan⁡x\tan xtanxd(tan⁡x)dx=sec⁡2x\dfrac{\text{d}(\tan x)}{\text{d}x}=\sec^2xdxd(tanx)​=sec2xcot⁡x\cot xcotxd(cot⁡x)dx=−csc⁡2x\dfrac{\text{d}(\cot x)}{\text{d}x}=-\csc^2 xdxd(cotx)​=−csc2xsec⁡x\sec xsecxd(sec⁡x)dx=sec⁡xtan⁡x\dfrac{\text{d}(\sec x)}{\text{d}x}=\sec x\tan xdxd(secx)​=secxtanxcsc⁡x\csc xcscxd(csc⁡x)dx=−csc⁡xcot⁡x\dfrac{\text{d}(\csc x)}{\text{d}x}=-\csc x \cot xdxd(cscx)​=−cscxcotxarcsin⁡x\arcsin xarcsinxd(arcsin⁡x)dx=11−x2\displaystyle \frac{\text{d}(\arcsin x)}{\text{d}x} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dxd(arcsinx)​=1−x2​1​arccos⁡x\arccos xarccosxd(arccos⁡x)dx=−11−x2\displaystyle \dfrac{\text{d}(\arccos x)}{\text{d}x}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dxd(arccosx)​=−1−x2​1​arctan⁡x\arctan xarctanxd(arctan⁡x)dx=11+x2\dfrac{\text{d}(\arctan x)}{\text{d}x} = \dfrac{1}{1+x^2}dxd(arctanx)​=1+x21​arccot x\text{arccot}\space xarccot xd(arccot x)dx=−11+x2\dfrac{\text{d}(\text{arccot}\space x)}{\text{d}x} = - \dfrac{1}{1+x^2}dxd(arccot x)​=−1+x21​

双曲函数 和 反双曲函数

函数名表达式双曲正弦 sh⁡x\operatorname{sh}xshxsh⁡x=ex−e−x2\operatorname{sh} x = \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}shx=2ex−e−x​双曲余弦 ch⁡x\operatorname{ch}xchxch⁡x=ex+e−x2\operatorname{ch} x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}chx=2ex+e−x​双曲正切 th⁡x\operatorname{th}xthxth⁡x=sh⁡xch⁡x=ex−e−xex+e−x\operatorname{th} x = \dfrac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}thx=chxshx​=ex+e−xex−e−x​反双曲正弦 arcsh⁡x\operatorname{arcsh}xarcshxarcsh⁡x=ln⁡(x+x2+1)\displaystyle \operatorname{arcsh}x = \ln(x+\sqrt{x^2+1})arcshx=ln(x+x2+1​)1反双曲余弦 arcch⁡x\operatorname{arcch}xarcchxarcch⁡x=ln⁡(x+x2−1)\operatorname{arcch}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})arcchx=ln(x+x2−1​)反双曲正切 arcth⁡x\operatorname{arcth}xarcthxarcth⁡x=12ln⁡1+x1−x\displaystyle \operatorname{arcth}x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}arcthx=21​ln1−x1+x​

三、微分方程

可分离变量的微分方程 [形如：dydx=f(x)][\mathbf{形如}： \displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x)][形如：dxdy​=f(x)]

① 分离变量后，两端积分。

[② 根据定解条件确定常数]

齐次方程 [形如：dydx=φ(yx)][\mathbf{形如}：\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=φ(\frac{y}{x})][形如：dxdy​=φ(xy​)]，

看 x、yx、yx、y 次数的系数是否对称。

① 令 u=yxu = \dfrac{y}{x}u=xy​， 则 y=uxy = uxy=ux， dydx=u+xdudx\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = u + x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}dxdy​=u+xdxdu​。

② 代入方程，分离变量 xxx 和 $u $后，两端积分。

③ 用 yx\dfrac{y}{x}xy​代替 uuu 。

[④ 根据定解条件确定常数]

一阶线性微分方程 [形如：dydx+P(x)⋅y=Q(x)][\mathbf{形如：} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)\cdot y=Q(x)][形如：dxdy​+P(x)⋅y=Q(x)]

(1) 当 Q(x)=0Q(x)=0Q(x)=0 时，方程为『齐次』。 （对应于 非齐次线性方程 的齐次线性方程 ）

​ 齐次线性方程的通解：y=Ce−∫P(x)dx\displaystyle y = Ce^{-\int P(x)\text{d}x}y=Ce−∫P(x)dx

(2) 当 Q(x)≢0Q(x)\not\equiv0Q(x)≡0 时，方程为『非齐次』。 （非齐次线性方程）

​ 非齐次线性方程的通解：y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)⋅e∫P(x)dxdx+C)\displaystyle y = e^{-\int P(x)\text{d}x}(\int Q(x)\cdot e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x+C)y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)⋅e∫P(x)dxdx+C)

​ 展开式：y=Ce−∫P(x)dx+e−∫P(x)dx∫Q(x)⋅e∫P(x)dxdx\displaystyle y = Ce^{-\int P(x)\text{d}x} + e^{-\int P(x)\text{d}x}\int Q(x) \cdot e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}xy=Ce−∫P(x)dx+e−∫P(x)dx∫Q(x)⋅e∫P(x)dxdx

伯努利方程 [形如：dydx+P(x)⋅y=Q(x)⋅yn, (n≠0,1)][\mathbf{形如}：\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)\cdot y= Q(x)\cdot y^n,\space(n\not=0,1)][形如：dxdy​+P(x)⋅y=Q(x)⋅yn, (n=0,1)]

① 两端同除以 yny^nyn

② 设 z=y1−nz = y^{1-n}z=y1−n，则 dzdx=(1−n)y−ndydx\displaystyle \frac{\text{d}z}{\text{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}dxdz​=(1−n)y−ndxdy​

​ 代入，得 11−n⋅dzdx+P(x)z=Q(x)\dfrac{1}{1-n}\cdot \dfrac{\text{d}z}{\text{d}x} + P(x)z=Q(x)1−n1​⋅dxdz​+P(x)z=Q(x)

​ dzdx+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)\dfrac{\text{d}z}{\text{d}x}+(1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)dxdz​+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)

③先求 zzz，再求 yyy。

可降阶的高阶微分方程

(1) [形如：y(n)=f(x)][\mathbf{形如}：y^{(n)}=f(x)][形如：y(n)=f(x)]

​ 两端积分，得 y(n−1)=∫f(x)dx+C1\displaystyle y^{(n-1)}=\int f(x)\text{d}x+C_1y(n−1)=∫f(x)dx+C1​

​ 一直积分到 得到通解 时。

(2) [形如：y′′=f(x,y′)][\mathbf{形如}：y''= f(x,y')][形如：y′′=f(x,y′)]，没有 y

​ 设 p=y′p = y'p=y′，则 y′′=p′y''=p'y′′=p′，

​ 代入，得到 p′p'p′ 关于 ppp 和 xxx 的方程 p′=f(x,p)p'=f(x,p)p′=f(x,p)

(3) [形如：y′′=f(y,y′)][\mathbf{形如}：y''=f(y,y')][形如：y′′=f(y,y′)]，没有 x

​ 设 p=y′p = y'p=y′，则 y′′=dpdx=dp ⋅ dydx ⋅ dy=pdpdy\displaystyle y'' = \frac{\text{d}p}{\text{d}x}=\frac{\text{d}p\space \cdot \space \text{d}y}{\text{d}x\space \cdot \space \text{d}y}=p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}y′′=dxdp​=dx ⋅ dydp ⋅ dy​=pdydp​

​ 代入，得到 pdpdy=f(y,p)p\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y} = f(y,p)pdydp​=f(y,p)

​ 分离变量求解，之后把 p=y′p = y'p=y′ 代入，

​ [根据已知条件求出常数之一，继续分离变量求解。根据已知，求出第二个常数]

线性相关 与 线性无关

定义：对于定义在区间 III 上的 n 个函数，如果下式成立则线性相关，否则无关。

k1y1+k2y2+⋯+knyn≡0,(∀x∈I) (k1,k2,⋯ ,kn不全为 0)

k_1 y_1+k_2 y_2 + \cdots + k_n y_n \equiv 0, (\forall x \in I )\space(k_1,k_2,\cdots,k_n不全为\space0)

k1​y1​+k2​y2​+⋯+kn​yn​≡0,(∀x∈I) (k1​,k2​,⋯,kn​不全为 0)

二阶微分方程：判断方程是否为线性的方法

​ 若 y1(x),y2(x)y_1(x),y_2(x)y1​(x),y2​(x) 线性无关 ⇔\Leftrightarrow⇔ y1(x)y2(x)≢\dfrac{y_1(x)}{y_2(x)} \not\equivy2​(x)y1​(x)​≡ 常数。

高阶线性微分方程

二阶

[形如：d2ydx2+P(x)dydx+Q(x)y=f(x)](6-1)\displaystyle [\mathbf{形如：} \frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + P(x)\frac{\text{d}y}{\text{d}x} +Q(x)y=f(x)]\tag{6-1}[形如：dx2d2y​+P(x)dxdy​+Q(x)y=f(x)](6-1)

① 齐次：f(x)≡0f(x) \equiv 0f(x)≡0，设 (6−2)(6-2)(6−2) 是 (6−1)(6-1)(6−1) 对应的齐次方程。

性质：齐次方程的任意两个解相加（或乘 CCC ）的结果仍是该齐次方程的解。定理 1 ：如果函数 y1(x)y_1(x)y1​(x) 和 y2(x)y_2(x)y2​(x) 是方程 (6−2)(6-2)(6−2) 的两个解，那么 函数 y=C1y1(x)+C2y2(x)y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)y=C1​y1​(x)+C2​y2​(x)，也是方程 (6−2)(6-2)(6−2) 的解。

注意：函数 y=C1y1(x)+C2y2(x)y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)y=C1​y1​(x)+C2​y2​(x) 不一定是方程 (6−2)(6-2)(6−2) 的通解。

定理 2 ：如果 函数 y1(x)y_1(x)y1​(x) 和 y2(x)y_2(x)y2​(x) 是 线性无关 的特解，则函数 y=C1y1(x)+C2y2(x)y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)y=C1​y1​(x)+C2​y2​(x) 是方程 (6−2)(6-2)(6−2) 的通解

② 非齐次：f(x)≢0f(x) \not\equiv 0f(x)≡0

n 阶

[形如：y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an−1(x)y′+any=f(x)](6-n-1)\displaystyle [\mathbf{形如：} y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots + a_{n-1}(x)y'+a_n y= f(x)]\tag{6-n-1}[形如：y(n)+a1​(x)y(n−1)+⋯+an−1​(x)y′+an​y=f(x)](6-n-1)

① 齐次：

如果 函数 y1(x),y2(x),⋯ ,yn(x)y_1(x),y_2(x),\cdots, y_n(x)y1​(x),y2​(x),⋯,yn​(x) 是 线性无关 的特解，则函数方程 (6−n−1)(6-n-1)(6−n−1) 的通解为：

y=C1y1(x)+C2y2(x)+⋯+Cnyn(x)y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)+\cdots+C_n y_n(x)y=C1​y1​(x)+C2​y2​(x)+⋯+Cn​yn​(x)